论“二次”

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Jul 10, 2022
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胡思乱想
回忆
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为什么宇宙之间处处存在着的都是二次呢?
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回想起去年高考后,强基计划的录取结果还没出,便闲的没事参加了国科大的自主招生,笔试自然高出线很多分过了,面试选在了某个中科院的研究所里。当时的面试是多对多的四五位同学面对着四五位老师,而关于这场面试我印象最深刻的还是当时面试老师问我们的一个问题。当时老师告诉我们中国科学院新成立了一个哲学研究所,然后便问我们对于此有什么看法。虽然无意冒犯,但当时的一位同学听到这个问题后便开始滔滔不绝地讲起了马克思主义哲学对于当今社会的作用,说完后老师才告诉我们,此哲学非彼“哲学”,是指导科学思想的科学哲学。嗯……当时的气氛的确有一丝丝尴尬。一位老师为了打破当时的沉默,提出了一个具体的问题。问题具体是什么我也记不清了,大概就是从小到大,我们在数学的学习中,许多都和“二次”有关:二次函数、二次方程、二次多项式……而对于更高或更低次数的问题,却讲得略显草率,难道“二次”就这么特殊嘛?
的确,除去我们在中学数学的学习,二次在其他各个方面也是出现得异常频繁。
比如在物理中随处可见的平方反比定律。例如万有引力、静电力都符合这个规律。从直观的角度来看,平方反比定律揭示了这样一个性质:穿过任意一个封闭曲面的电场线、引力场线条数时固定的。由于球面上一个固定范围的面积随着球半径的增长而成平方增长的规律,因此就引出了这一个条性质。而这个性质与我们处在三维的空间这一条件密切相关。
再比如,这学期我在高等代数中学到的二次型。由我们在代数中学习到的知识也可以知道,任何多元的二次齐次多项式都可以通过线性的变量代换,最后化为多个变量的平方的和或差。这也使得我们对二次曲线可以研究得十分深入,有着非常多极好的性质。而这些,都得益于对对称阵右乘一个向量,左乘这个向量的逆,这一个特殊的过程。一次问题自不必多说,非常好的满足了线性性。而二次问题也可以在这特殊的过程中转换为一个非常优美的形式。而对于三次及以上的问题,至少从我目前掌握的知识来看,很难有和之前类似的性质,即便是有,想必也会变得十分复杂。
众所周知,维数是一个非常奇妙的东西。除了在符合线性性的时候我们有线性代数、泛函分析等工具可以帮助我们很好的解决问题,在大多数情况下从一维到二维,从二维到三维等等,每一步都是情况的急剧变化,许多原本的结论不再适用,许多新的问题不断产生。而二维,却是如此特殊的一个情况,正如复数只需两维便可描述所有的数,正如我们生活在如此特殊的三维空间中,在这背后,一定有一些注定如此的原因,而这原因,亟待我们去发现。
 

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